2.3.4 Die Integralrechnung zum Lösen von Problemen in verschiedenen Bereichen nutzen
Unterrichtsmaterial zum Lernziel: Die Maturandinnen und Maturanden können die Integralrechnung zum Lösen von Problemen in verschiedenen Bereichen nutzen.
⚠ Neu versucht die KI ungefähr das Niveau zu ermitteln. Bitte helfen Sie, indem Sie die Gewichtung der Kriterien mitbewerten! Generelles Feedback gern an marc@eduskript.org.
Maturitätsprüfung Mathematik Grundlagen 2006 (Kantonsschule Reussbühl)
Vollständige Maturaprüfung im Grundlagenfach Mathematik mit fünf umfangreichen Aufgaben aus Kurvendiskussion, Integralrechnung, Vektorgeometrie, Stochastik sowie Folgen und Kreisgeometrie. Die Aufgaben verlangen selbstständiges Modellieren, Herleiten und Begründen; Lösungen sind nicht beigelegt.
Matur-/Abituraufgaben Analysis
Eine Sammlung von zehn anspruchsvollen Maturitätsaufgaben zur Analysis mit vollständigen Lösungen. Die Aufgaben kombinieren Kurvendiskussion, Extremwertprobleme, Flächen- und Rotationskörperberechnungen, teils mit Parameter und in Sachkontexten (Flugzeugabsturz, Tropfen).
Funktionenschar f_a(x) = x·e^(−½ax²+½): Abitur-Aufgabe mit Musterlösung
Mehrteilige Analysis-Aufgabe (Abiturstil) zur Funktionenschar f(x)=x·e^(−½ax²+½): Symmetrie, Nullstellen, Ableitung, Extrempunkte, Integral mit Substitutionsregel und eine Optimierungsaufgabe zum Trapezflächeninhalt. Der Materialtext enthält vollständige, didaktisch sauber erklärte Lösungsvorschläge mit Rechenschritten; die Aufgabenstellungen selbst sind knapp, die Lösungen ausführlich.
Schriftliche Maturitätsprüfung 2010, Grundlagenfach Mathematik (KSR)
Dreistündige schriftliche Maturitätsprüfung im Grundlagenfach Mathematik mit fünf Aufgaben zu Kurvendiskussion und Funktionenscharen, Wahrscheinlichkeitsrechnung, Integralrechnung samt Rotationskörper und einbeschriebenem Kegel, Vektorgeometrie einer Pyramide sowie gemischten Teilaufgaben (Würfel spielen, Kreis und Tangente, partielle Integration). Der Prüfungstext enthält Aufgabenstellungen mit Punkteverteilung, aber keine Lösungen.
Maturitätsprüfung Mathematik Grundlagen, Kantonsschule Reussbühl 2007
Eine 180-minütige Maturitätsprüfung mit fünf umfangreichen Aufgaben zu Funktionenscharen, Integralrechnung (Rotationsvolumen, unendliche Flächen), Stochastik, Vektorgeometrie und analytischer Geometrie. Professionell gestellte, abwechslungsreiche Aufgaben mit gestuften Teilaufgaben, aber ohne Lösungen oder Erklärtexte.
Flächenberechnung mit Integralen
Der Artikel erklärt anschaulich den Unterschied zwischen dem Integral als orientierter Flächenbilanz und dem tatsächlichen Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse bzw. zwischen zwei Graphen. Mit Beispielen, insbesondere zum Umgang mit Vorzeichenwechseln, wird das Vorgehen Schritt für Schritt gezeigt. Übungsaufgaben sind nur verlinkt, nicht im Text enthalten.
Atmosphärenmodelle und Differentialgleichungen
Ein anspruchsvolles, anwendungsorientiertes Material, das aus der hydrostatischen Grundgleichung und der Gasgleichung eindimensionale Atmosphärenmodelle (homogen, isotherm, polytrop) entwickelt und die barometrische Höhenbestimmung formal und numerisch behandelt. Es verbindet Analysis, Numerik und Meteorologie mit realen Daten (ICAO-Atmosphäre, Radiosondenaufstiege, Höhenmesser im Gebirge). Enthält viele teils modellkritische, offene Aufgaben, aber keine Lösungen.
Übungsaufgaben zu Integralen
Umfangreiches Online-Übungsblatt zur Integralrechnung mit Schritt-für-Schritt-Musterlösungen: Fläche zwischen Graph und x-Achse, Bestimmte Integrale berechnen (auch mit Beträgen und partieller Integration), Eigenschaften von Integralfunktionen sowie Mittelwertberechnung in Sachkontexten (Autofahrt, Heißluftballon, Temperaturverlauf). Die Aufgaben sind weitgehend Routinetraining, enthalten aber einige begründende und kontextbezogene Elemente.
Integralrechnung – Aufgabensammlung mit Lösungen
Umfangreiche Aufgabensammlung zur Integralrechnung mit vollständigen Lösungen: von Standardaufgaben über Substitution, partielle Integration und Partialbruchzerlegung bis zu uneigentlichen Integralen, Rotationskörpern und angewandten Problemstellungen (Vase, Zwiebel, Umfahrungsstrasse, Tageslichtdauer). Erklärenden Text gibt es keinen – es ist reines Übungsmaterial mit knappen Lösungswegen, dafür mit einigen überraschenden Kontextaufgaben.
Maturitätsprüfung Mathematik Grundlagen 2003 – Lösungsheft (Kanti Reussbühl)
Vollständig ausgearbeitete Lösungen zu einer Maturitätsprüfung des Grundlagenfachs Mathematik: Kurven und Flächenniveau, Binomialverteilung mit Erwartungswert, Vektorgeometrie in E, Kreisgeometrie mit Tangenten sowie Rotationskörper-Integrale. Nur reine Lösungsskizzen, keine Aufgabenstellungen und keine Erklärtexte.
Das Käfer-Problem: Verfolgungskurven und die logarithmische Spirale
Eine kurze, elegante Herleitung zum klassischen Käfer-Problem (vier Käfer laufen aufeinander zu): Symmetrieüberlegung, Aufstellung einer Differentialgleichung, Lösung via Polarkoordinaten zur logarithmischen Spirale, Bogenlängenberechnung per Integration. Rein formell, ohne Aufgaben, Lösungen oder ausführliche Erklärschritte – die Formeln selbst sind im Text teilweise nicht überliefert.
Differentialgleichungen für den Fall des Falles – Kommentare und Lösungen
Lösungen und didaktische Kommentare zu zwölf Aufgaben rund um Differentialgleichungen der freien Fallbewegung, behandelt mit Euler-Verfahren, Potenzreihenansatz und Variablenseparation. Der Text diskutiert ausführlich Modellbildung, Eindeutigkeit von Anfangswertproblemen und den Einsatz von CAS im Sinne der Gerüstdidaktik. Es handelt sich um ein Begleitmaterial für Lehrpersonen mit ausgewählten Musterlösungen, nicht um ein selbstständiges Lernmaterial.
Maturitätsprüfung Mathematik Grundlagen, KSR 2008
Maturitätsprüfung (Grundlagenfach Mathematik) der Kantonsschule Reussbühl 2008 mit fünf anspruchsvollen Aufgaben: Kurvendiskussion mit Optimierung und Integralt面积的 Bestimmung, Vektorgeometrie im Raum, Funktionenscharen, Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Zufallsvariablen sowie Kurzaufgaben zu Kreis/Tangente und geometrischen Reihen. Reines Prüfungsdokument ohne Lösungen oder Erklärungen.
Maturitätsprüfung Mathematik Grundlagenfach 2003 (KS Reussbühl)
Vollständige Maturitätsprüfungsaufgaben des Grundlagenfachs: Analysis mit Funktionen- und Kurvenscharen, Stochastik mit Glücksrad, Vektorgeometrie (Pyramide) sowie Kreisgeometrie mit Tangenten. Es sind reine Prüfungsaufgaben ohne Erklärtext, Lösungen oder didaktische Aufbereitung.
Abiturprüfungsaufgaben eA 2023 – Wahlteil CAS
Original Abiturprüfungsaufgaben (Bayern, eA 2023, Wahlteil CAS) in drei Analysis- und drei Stochastik- bzw. Vektorgeometrie-Aufgaben mit realen Kontexten (Stau, Wecker, Brücke, Glücksrad, Olivenöl, Werbemast). Es handelt sich um reine Prüfungstexte mit Aufgabenstellungen und BE-Wertungen, aber ohne Lösungen. Die Formeltexte sind teilweise unvollständig übernommen (Variablen und Terme fehlen), was die direkte Nutzbarkeit einschränkt.
Aufgaben zur Kurvendiskussion mit ausführlichen Musterlösungen
Musterlösungen zu drei Kurvendiskussions-Aufgaben mit ganzrationalen Funktionen, inklusive Polynomdivision, Substitution, Extrem- und Wendepunkten, Tangente/Normale sowie einer Flächenberechnung mit Integral. Jeder Rechenschritt ist ausführlich erklärt, die Lösungen sind vollständig. Es fehlt jedoch jeder anschauliche Einstieg, ein Zusammenhang zur Welt der Schüler:innen oder eine interessante Problemstellung — es ist reines Routine-Übungsmaterial.
Numerische Integration: Obersummen, Trapez- und Simpson-Regel
Formelles Skript zur numerischen Integration: Approximation des bestimmten Integrals über Obersummen, Trapezregel und Simpson-Regel inklusive vollständiger Herleitung der Simpson-Formel per Koeffizientenvergleich, sowie die Keplersche Fassregel mit Beispielen (Kugel, Kegel). Eine Transferaufgabe (Pyramidenstumpf) bleibt unbeantwortet, ein verlinktes Applet ist im Text selbst nicht enthalten.
Maturitätsprüfung Mathematik Grundlagenfach, KSR 2009
Schriftliche Maturitätsprüfung im Grundlagenfach Mathematik der Kantonsschule Reussbühl (2009) mit fünf Aufgaben zu Analysis (Kurvendiskussion, Integrale, Extremwertaufgaben, Rotationskörper, Funktionen mit Parameter), Vektorgeometrie (schiefe Prisma), Stochastik (Würfelexperimente, geometrische Reihe) und Kreisgleichung. Ohne Musterlösungen, nur für die Prüfungssituation brauchbar.
Lösungen KSR Grundlagenfach Mathematik 2008
Vollständige, formal gehaltene Lösungspräsentation zu einer Prüfung im Grundlagenfach Mathematik 2008: Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion, Integral- und Rotationskörperaufgaben, Vektorgeometrie (Ebene, Vierecksfläche, Quadrat) sowie Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Verteilung, Erwartungswert und Binomialverteilung. Nur Lösungen ohne Aufgabenstellung oder Erklärungen.
Maturitätsprüfung Mathematik Grundlagen 2004 – Lösungen (Kantonsschule Reussbühl)
Vollständige Musterlösungen zu fünf Aufgaben einer Maturitätsprüfung im Grundlagenfach Mathematik: Kurvendiskussion mit Extremwerten, Wahrscheinlichkeitsrechnung mit gezinktem Würfel, Vektorgeometrie (Geraden, Ebene, Abstand), Integralrechnung mit Rotationskörper sowie Kreisgeometrie mit Tangenten und Spiegelung. Die Lösungen sind rechnerisch sauber, aber knapp und ohne Erklärtext; die Aufgabenstellungen selbst fehlen.
Maturitätsprüfung Mathematik Grundlagenfach 2002 (Kantonsschule Reussbühl)
Maturitätsprüfung 2002 im Grundlagenfach Mathematik der Kantonsschule Reussbühl mit fünf Aufgaben zu Kurvendiskussion, Vektorgeometrie, Rotationskörpern (Integralrechnung), Wahrscheinlichkeitsrechnung und gemischten Kurzaufgaben. Keine Lösungen enthalten, geeignet als Prüfungsvorbereitung oder Test.
Musterlösungen zu Funktionenscharen: Ableitungen, Ortskurven und Extremwertaufgaben
Eine Sammlung ausführlicher Lösungsvorschläge zu Aufgaben über Funktionenscharen mit Parametern: Tangentensteigungen, Wendepunkte mit Fallunterscheidungen, Ortskurven, Flächenberechnung mit Integral und Grenzwertverhalten mit e-Funktionen. Die Rechenschritte sind nachvollziehbar dargestellt und teils mit GeoGebra-Applets visualisiert, jedoch fehlen die zugehörigen Aufgabenstellungen und ein didaktischer Einstieg weitgehend.
Musterlösungen Maturitätsprüfung Mathematik GF 2009 (KSR)
Lösungsskript zur Grundlagen-Maturitätsprüfung Mathematik 2009 der Kantonsschule Reussbühl. Enthält ausführliche, rechnerisch detaillierte Musterlösungen zu Analysis (Nullstellen, Asymptoten, Rotationsvolumen, Extremwertaufgabe, Tangenten), Vektorgeometrie (Ebene, Winkel, Abstand, Volumen), Wahrscheinlichkeitsrechnung (Binomialverteilung, Erwartungswert) und Kurzaufgaben (Kreisgleichung, geometrische Reihe).
Anwendungsaufgaben der Differential- und Integralrechnung
Eine Sammlung anspruchsvoller Anwendungsaufgaben zur Differential- und Integralrechnung aus realen Kontexten wie Achterbahn, Autobahnbau, Skisprungschanze, Gleistrassierung und Regression. Die Aufgaben behandeln Steigungen, mittlere Steigung, Krümmungsruckfreiheit (Polynomverbindungen bis Grad 4), Flächenberechnung und Regressionsgeraden. Die Formeln sind im Text teilweise nicht übernommen, und Lösungen sind nicht enthalten.
Kettenlinie: Herleitung der Differentialgleichung
Physikalische Herleitung der Differentialgleichung der Kettenlinie und Lösung vom Typ cosh(x) mit Bernoullis Variablentrennung. Kompaktes Fragment einer Online-Lehrreihe ohne Aufgaben oder Beispiele.
Prüfungsaufgaben: Rotationskörper, Viereck und springender Floh
Eine Aufgabensammlung (Teil A einer Prüfung) mit drei Anwendungsproblemen: Volumen und Masse eines keramischen Kerzenhalters als Rotationskörper, Berechnungen am Viereck mit Trigonometrie und Kreisbogen sowie eine Parabel-Aufgabe zum Flohsprung mit Alltagsbezug. Die Aufgaben sind sorgfältig mit Punktwerten und Teilergebnissen strukturiert, enthalten aber weder Erklärtexte noch Lösungen.
Aufgaben zu Flächenberechnung mit Integralen
Arbeitsblatt mit 17 gemischten Übungsaufgaben zum Berechnen von Flächeninhalten mit bestimmten Integralen: von Flächen zwischen Graph und x-Achse über Flächen zwischen zwei Kurven bis zu Umkehrfunktionen und einem Parameterproblem. Die Aufgaben steigen im Schwierigkeitsgrad an und enthalten vereinzelt Kontexte (Fischlogo, Malerauftrag), bieten aber weder Erklärungen noch Lösungen.
Lösungen zur Prüfung GF MA 2011 (KS Reussbühl)
Reines Lösungsdokument zu einer Prüfung mit sechs Aufgaben: Tangenten und Flächen an Parameterscharen, Winkel und Ebenen in der Vektorgeometrie, Kurvendiskussion mit unendlichem Integral, Wahrscheinlichkeitsverteilung und Binomialverteilung sowie Kreis- und Reihenaufgaben. Die Rechnungen sind korrekt und knapp begründet, Aufgabenstellungen und Erklärtext fehlen jedoch völlig.
Schriftliche Maturitätsprüfung 2011, Grundlagenfach Mathematik, Kantonsschule Reussbühl
Schriftliche Maturitätsprüfung im Grundlagenfach Mathematik der Kantonsschule Reussbühl 2011 mit sechs Aufgaben zu Differential- und Integralrechnung, Vektorgeometrie und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die Aufgaben verlangen formal dokumentierte Lösungswege, etwa Tangenten an eine Parabelschar, Spiegelung an einer Ebene, Erwartungswerte, Bayes-Formel und partielle Integration. Musterlösungen sind nicht enthalten.
Maturitätsprüfung 2002 Mathematik Grundlagenfachs – Lösungen (Kantonsschule Reussbühl)
Ausführliche Lösungen zu einer Maturitätsprüfung Mathematik (Grundlagenfach) der Kantonsschule Reussbühl von 2002. Behandelt Kurvendiskussion rationaler Funktionen, Extremwertaufgaben mit Rotationskörpern, Vektorgeometrie (Ebenen, Geraden, Abstände, Flächen) sowie Wahrscheinlichkeitsrechnung (bedingte Wahrscheinlichkeit, Binomialverteilung, erwarteter Gewinn). Es werden ausschliesslich vollständige Lösungsschritte dargestellt, ohne Aufgaben- und Fragentexte.
Maturitätsprüfung Mathematik Grundlagenfach 2005 (KS Reussbühl)
Vollständige Maturitätsprüfung im Grundlagenfach Mathematik mit fünf umfangreichen Aufgaben zu Integralrechnung und Rotationskörpern, Kurvendiskussion mit e-Funktionen, Wahrscheinlichkeitsrechnung (Tetraeder-Würfelspiel) sowie Vektorgeometrie (Ebenen, Winkel, Pyramide). Es handelt sich um eine reine Aufgabensammlung ohne Erklärungen, Beispiele oder Lösungen.
Maturitätsprüfung 2002 Schwerpunktfach Physik und Anwendungen der Mathematik
Eine dreistündige Maturitätsprüfung im Schwerpunktfach Physik und Anwendungen der Mathematik mit vier umfangreichen Aufgaben: Unschärferelation und Kompression des H-Atoms, Glühdraht einer Glühlampe, perspektive Affinität mit Richtungsfeld einer Differentialgleichung sowie Abbildung mit komplexen Zahlen inklusive Grenzwertbetrachtung. Es sind nur Aufgabenstellungen ohne Lösungen oder Erklärungen enthalten.
Musterlösungen KSR GF07 (Aufgaben 1–5)
Reine Musterlösungsskripte zu fünf Prüfungsaufgaben der KSR GF07: Extremwertaufgaben mit Ableitungen und Integralen (Rotationsvolumen, Flächen zwischen Parabeln), Koordinaten- und Vektorgeometrie (Pyramide, Kreis, Tangente/Normale) sowie Wahrscheinlichkeitsrechnung mit Binomialverteilung. Es werden nur Rechenwege und Ergebnisse gezeigt, ohne Erklärtexte oder Aufgabentexte.
Maturitätsprüfung Mathematik Grundlagen 2004 (KS Reussbühl)
Eine dreistündige Maturitätsprüfung im Grundlagenfach Mathematik mit fünf prüfungsähnlichen Aufgabenserien: Funktionenschar mit Asymptoten und Extrema, Wahrscheinlichkeitsrechnung mit gezinktem Würfel, Vektorgeometrie mit Geraden und Ebenen, Integralrechnung mit Rotationskörper sowie Kreis- und Spiegelungsgeometrie. Es handelt sich um reine Prüfungsaufgaben ohne Erklärtexte und ohne Lösungen.
Maturitätsprüfung Mathematik Grundlagenfach 2010 (KSR) – Lösungen
Lösungen zu fünf Aufgaben einer Maturitätsprüfung im Grundlagenfach Mathematik (Kurvendiskussion, Rotationskörper mit Kegeloptimierung, Vektorgeometrie mit Tetraeder, Wahrscheinlichkeit mit geometrischer Reihe, Integral). Nur Lösungen ohne Aufgabenstellung, Erklärungen oder Einstieg – ohne die zugehörige Prüfung kaum nutzbar.
Maturitätsprüfung 2007 Schwerpunktfach Physik und Anwendungen der Mathematik – Lösungen
Lösungsskript zu einer Maturitätsprüfung im Schwerpunktfach Physik und Anwendungen der Mathematik mit sechs Aufgaben: Fixpunkte und Fixgeraden affiner Abbildungen, lineare Differentialgleichungen mit Variation der Konstanten, Abbildungen mit komplexen Zahlen sowie physikalische Anwendungen (Strömung, Radioaktivität, Wechselstrom, Mechanik). Es handelt sich um reine Musterlösungen ohne Aufgabenstellungen, Erklärungen oder didaktischen Aufbau.
Entleerung eines Stausees – Differentialgleichung zum Torricelli-Gesetz
Aufgabe aus einem Analysis-Lehrmittel: Aus dem Torricelli'schen Ausflussgesetz wird eine Differentialgleichung für den Wasserstand h(t) eines Stausees aufgestellt und für drei Uferformen (konstante, lineare, quadratische Oberfläche) gelöst. Die Entleerungszeit T wird jeweils berechnet. Die Darstellung ist ein stark fragmentierter Auszug mit teilweiser Lösung.
Lösungen Matura 2002, Grundlagenfach Mathematik (KSR)
Offizieller Lösungsgang zur Matura-Prüfung 2002 im Grundlagenfach Mathematik mit fünf Aufgaben zu Kurvendiskussion, Vektorgeometrie, Analysis und Stochastik. Es handelt sich um knappe Rechenlösungen ohne Erklärtext, Einstieg oder didaktische Aufbereitung — nur mit Lehrperson als Lösungsvorlage nutzbar.
Rotationskörper – Volumen und Mantelfläche
Eine Formelsammlung zu Rotationskörpern: Definition, bekannte Beispiele (Kugel, Zylinder, Kegel) sowie die Volumen- und Mantelflächenformeln für Rotation um x- und y-Achse, inklusive eines durchgerechneten Beispiels mit Lösungs_skizze_. Der Text ist fragmentarisch und didaktisch dünn: Die mathematischen Formeln selbst sind im Material nicht vollständig dargestellt (leere Platzhalter), Beispiele und Tabelle sind unvollständig.
Maturitätsprüfung 2010 Schwerpunktfach Physik und Anwendungen der Mathematik
Schriftliche Maturitätsprüfung des Schwerpunktfachs Physik und Anwendungen der Mathematik mit zehn Aufgaben aus Mechanik, Elektrizitätslehre, Differentialgleichungen, Vektorgeometrie, komplexen Zahlen, Folgen (Induktionsbeweis) und Hypothesentests. Anspruchsvolle Transferaufgaben ohne Lösungen, nur mit Formelsammlung als Begleitmaterial nutzbar.
Maturitätsprüfung 2003 Schwerpunktfach Physik und Anwendungen der Mathematik – Lösungen
Lösungsskript zur Maturitätsprüfung 2003 im Schwerpunktfach Physik und Anwendungen der Mathematik der Kantonsschule Reussbühl. Behandelt stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit Integralrechnung, Differentialgleichungen zur Fallbewegung und Schwingungen, komplexe Zahlen mit konformen Abbildungen sowie physikalische Anwendungen (Kreisprozess, Wechselstromkreis, Relativitätstheorie). Es handelt sich um reine Musterlösungen ohne Erklärtexte oder Aufgabenstellung.