2.1.4 Zusammenhänge und Abhängigkeiten aus verschiedenen Gebieten mit Funktionen modellieren
Unterrichtsmaterial zum Lernziel: Die Maturandinnen und Maturanden können Zusammenhänge und Abhängigkeiten aus verschiedenen Gebieten mit Funktionen modellieren.
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Die ICAO-Atmosphäre als Datenmodell
Ausführliches Unterrichtsmaterial, in dem Schüler:innen aus den Tabellendaten der ICAO-Standardatmosphäre Temperatur- und Druckfunktionen konstruieren – mittels Interpolation, Regression und Newtonverfahren. Die 27 Aufgaben sind kumulativ aufgebaut und leiten zur barometrischen Höhenbestimmung und Druckreduktion, mit einem Anhang zu den benötigten mathematischen Methoden. Realer Bezug (Fliegerei, Bergsteigen, Wettermodelle) und der Einsatz von Grafikrechner/CAS machen den Stoff lebendig und anspruchsvoll.
Differentialgleichungen verstehen mit Python-Simulationen
The analysis indicates the document centers on differential calculus concepts.
Numerische Gleichungslöser und Physik: Keplergleichung und Wiensches Verschiebungsgesetz
Ausgearbeitete Unterrichtsbeilage (Schneebeli/Wihler) zeigt an zwei historisch bedeutsamen Beispielen, wo algebraische Mittel an ihre Grenzen stossen und numerische Gleichungslöser unverzichtbar werden: die Keplergleichung für den Planetenort (mit geometrischer Herleitung über Ellipsenaffinität und Flächensatz) sowie die Herleitung des Wienschen Verschiebungsgesetzes aus dem Planckschen Strahlungsgesetz. Enthält Aufgaben zu numerischen Verfahren (Bisektion, Fixpunktiteration, Newton-Raphson) und historische Kontexte, mit echtem Anwendungsbezug (GPS, Stern temperaturen).
Populationsmodelle – Eine Einführung in Differentialgleichungen
Ausgearbeitete Unterrichtsskizze, die ausgehend von linearem und exponentiellem Wachstum das logistische Wachstum (Verhulstgleichung) einführt und Differentialgleichungen qualitativ über Phasenräume, Fixpunkte und Linearisierung erschliesst. Enthält zwölf anspruchsvolle, realitätsnahe Aufgaben (u.a. Polemik über Ausländeranteil, Grippeepidemie, nachhaltige Zucht) sowie eine fundierte Modellkritik. Zielpublikum sind primär Lehrkräfte; Lösungen sind nicht enthalten.
Lineare Gleichungssysteme: Schokoriegel, Kerzen und Tanken
Eine Aufgabensammlung zu linearen Gleichungssystemen mit konkreten Lösungen und Lösungsvorschlägen. Zunächst wird die Aufstellung und das Subtraktionsverfahren an einer Einkaufsaufgabe geübt, dann werden Nullstellen-Probleme im Sachkontext kritisch reflektiert, bevor Mischungsaufgaben und die Lösungsmenge eines Systems formuliert werden.
Skalarprodukte – Schwingungen – Signale
Ein frei verfügbares gymnasiales Fachbuch (Kantonsschule Baden), das von Skalarprodukten und harmonischen Schwingungen über Epizykel bis zur Diskreten Fouriertransformation und zum Abtasttheorem führt. Es verbindet Vektorgeometrie, Goniometrie und Statistik zu aktuellen Anwendungen (Spektralanalyse, Datenfilterung) und bietet pro Kapitel Aufgaben für den Schulgebrauch. Der Zugang ist anschaulich-geometrisch und historisch angereichert (Ptolemäus, Exoplaneten), setzt aber Grafikrechner und solide mathematische Vorkenntnisse voraus.
Differentialgleichungen: Übungsblatt mit Anwendungen und Lösungen
Umfangreiches Aufgabenblatt zu Differentialgleichungen mit vollständigen Lösungen: Modellierung (Abkühlung, Fallschirmspringer, Atommüll im Meer, chemische Reaktion, logistisches Wachstum), Richtungsfelder, Eulerverfahren und analytische Lösungstechniken bis zur 3. Ordnung. Die Anwendungsaufgaben sind spannend und lebensnah, die Lösungen teilweise knapp (einige Skizzen fehlen).
Rational schätzen – Fermi-Aufgaben und Modellbildung mit Näherungen
Reichhaltiges Material von H.R. Schneebeli zur rationalen Schätzung ('educated guess') im Stil von Fermi-Aufgaben: Ausführlich durchgerechnete Beispiele (Zahnärzte in der Schweiz, Sonnenenergie), eine Sammlung spannender Schätzaufgaben und kommentierte, diskussionsorientierte Lösungen. Der Text reflektiert auch didaktisch Sinn, Unsinn und Grenzen des Schätzens und betont Modellbildung statt schematischen Rechnens.
Die optimale Getränkepackung: Extremalaufgaben als Einstieg in den Funktionsbegriff
Didaktischer Aufsatz, der zeigt, wie der Funktionsbegriff über ein realitätsnahes Verpackungsproblem eingeführt werden kann: Schüler falzen eine 1-Liter-Getränkepackung, leiten die Materialverbrauchsfunktion M(b) = 4b² + 4000/b her und bestimmen Extremalstellen numerisch mit Wertetabelle und Zoomen am Grafikrechner. Der scheinbare Widerspruch zur realen Verpackung (742 statt 756 cm²) dient als Anlass, Modellannahmen kritisch zu hinterfragen und das Modell schrittweise zu verfeinern.
Potenz- und Exponentialfunktionen – Aufgabensammlung mit Lösungen
Umfangreiches Übungsblatt mit 29 Aufgaben zu Potenzfunktionen und exponentiellem Wachstum (inkl. Zins, Halbwertszeit, logistisches Wachstum, Kettenlinie). Die Aufgaben sind in erfinderischen Alltagskontexten verpackt (Osterhase, Prellball, Kornspeicher, Lärmquellen) und vollständig mit Lösungen versehen. Es fehlen jedoch Erklärungen und Beispiele – das Material setzt eine vorgängige Behandlung im Unterricht voraus.
Differentialgleichungen 2. Ordnung: exakte und numerische Lösung mit Anwendungen (Pendel)
Ausführliches Skript zur Lösung linearer Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, homogen und inhomogen, mit charakteristischer Gleichung und Fallunterscheidung. Es folgt ein Kapitel zur numerischen Lösung (Reduktion der Ordnung, Runge-Kutta am TI Voyage) sowie Anwendungen wie mathematisches, gedämpftes, Doppel- und gekoppeltes Pendel. Enthält durchgerechnete Beispiele, Aufgaben mit Lösungen und Anleitungen zur TI-Umsetzung.
Aufgaben zu Wachstums- und Zerfallsprozessen
Umfangreiche Aufgabensammlung zu exponentiellem Wachstum und Zerfall mit teils Alltagsbezug (Bierschaum, Espresso, Bakterien, Tschernobyl, Grippe). Da nur Lösungen fehlen, ist das Material als Übungssammlung brauchbar, aber nicht komplett.
Wachstum und Zerfall
Ein umfangreiches, gut strukturiertes Unterrichtsskript zu Wachstums- und Zerfallsprozessen: Es führt anschaulich von diskreter/kontinuierlicher Zeit über lineares zu exponentiellem und polynomialem Wachstum, verbindet Modellbildung, Datenanalyse und CAS-Nutzung und bietet zahlreiche, teils anspruchsvolle Aufgaben mit realem Hintergrund (Zins, radioaktiver Zerfall, Fibonacci, US-Bevölkerung, ICAO-Atmosphäre). Lösungen fehlen, und der Stil ist eher lehrbuchhaft-formal, was die lebendige Wirkung etwas dämpft.
Einfache Modelle zur Finanzmathematik
Ein ausführliches Skript zur Finanzmathematik als Anlass zur Modellbildung: einfacher Zins, Zinseszins, Kaufkraftzerfall, Rendite und Rentenrechnung werden über Rekursionen und explizite Formeln behandelt. Grafikrechner/CAS und kleine Programme dienen als Werkzeuge, zahlreiche Aufgaben mit teils ausgearbeiteten Lösungen sowie eine Musterprüfung runden das Material ab.
Kurvendiskussion in der Biopharmazie (Lernaufgabe)
Eine Lernaufgabe, in der Schüler:innen anhand des Betablockers Propranolol die Wirkstoffkonzentration im Blut modellieren, mit Messwerten eine passende Kurve bestimmen und mittels Kurvendiskussion eine Prognose über die Dosierung erstellen. Einführt wird auch die Methode des Residuierens als problemspezifische Variante der Ausgleichsrechnung. Die Aufgabe verbindet Differentialrechnung mit Exponential- und Logarithmusfunktionen und einem realen medizinischen Anwendungskontext.
Juliamengen und Mandelbrotmenge
Kurzer Einführungstext zu Julia- und Mandelbrotmengen mit der Iterationsvorschrift z↦z²+c, Definition der Divergenz-/Einzugsbereiche und Erklärung der Färbung über einen Iterationszähler. Das Material enthält ein interaktives Programm, mit dem Schüler:innen Juliamengen für beliebige c-Werte selbst erzeugen können. Die Erklärung ist knapp und eher deskriptiv; Aufgaben oder Lösungen fehlen.
Atmosphärenmodelle und Differentialgleichungen
Ein anspruchsvolles, anwendungsorientiertes Material, das aus der hydrostatischen Grundgleichung und der Gasgleichung eindimensionale Atmosphärenmodelle (homogen, isotherm, polytrop) entwickelt und die barometrische Höhenbestimmung formal und numerisch behandelt. Es verbindet Analysis, Numerik und Meteorologie mit realen Daten (ICAO-Atmosphäre, Radiosondenaufstiege, Höhenmesser im Gebirge). Enthält viele teils modellkritische, offene Aufgaben, aber keine Lösungen.
Anwendungsaufgaben zu funktionalen Zusammenhängen
qualitative ablesen, interpretieren, begründen und selbst zeichnen.
Aufgaben zu Graph und Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen
Umfangreiches Serlo-Aufgabenset zu gebrochen-rationalen Funktionen: Parameterbestimmung, Zeichnen von Hyperbeln über Asymptoten und Wertetabellen, Umkehr-Aufgaben (Funktionsgleichung aus Eigenschaften) sowie Applet-Aufgaben mit Schiebereglern. Alle Aufgaben sind ausführlich mit Lösungen und Lösungsstrategien versehen.
Stochastische Modellierung im Gymnasialunterricht (Markovketten)
Ein Lesetext von Hansruedi Künsch, der stochastische Alternativen zu deterministischen Differentialgleichungsmodellen einführt: Markovketten für Geburts-/Todesprozesse und das SIR-Modell, mit simulierten Verläufen und einer R-Implementation für eigene Experimente. Ein letzter Abschnitt behandelt die analytische Herleitung von Übergangswahrscheinlichkeiten und deren Konvergenz gegen stationäre Verteilungen mit Matrizenrechnung und Eigenwerten.
Differentialgleichungen in der Physik: Vermischte Übungen mit Lösungen
Lösungsskript mit drei ausführlich gerechneten Aufgaben zu linearen Differentialgleichungen: Raketenstart mit Luftwiderstand, gedämpfte Schwingung und Aufheizung eines Wasservolumens. Die Herleitungen sind sauber und vollständig, enthalten aber keine Erklärtexte oder Aufgabentexte — reines Rohmaterial zur Kontrolle.
K-Means-Algorithmus (Lehrtext)
Ein Lehrtext erklärt den K-Means-Algorithmus zur Clusteranalyse und wendet ihn anschaulich auf die Bildkompression über RGB-Farbcluster an. Vorausgesetzt werden Grundkenntnisse in Vektorgeometrie und Informatik. Die Sequenz will die Macht mathematischer Ideen im Alltag zeigen.
Extremwertaufgaben – Vorgehensweise und Beispiel
Lehrmaterial, das strukturiert das fünfstufige Vorgehen zur Lösung von Extremwertaufgaben (Zielfunktion, Nebenbedingung, Extremalfunktion, Extremwertbestimmung, Lösung) erklärt. Es enthält ein vollständig durchgerechnetes Draht-Rechteck-Beispiel sowie interaktive Applets und Übungsaufgaben, wobei Letztere nur dynamisch nachgeladen werden. Formeln sind teilweise unvollständig dargestellt.
Das Käfer-Problem: Verfolgungskurven und die logarithmische Spirale
Eine kurze, elegante Herleitung zum klassischen Käfer-Problem (vier Käfer laufen aufeinander zu): Symmetrieüberlegung, Aufstellung einer Differentialgleichung, Lösung via Polarkoordinaten zur logarithmischen Spirale, Bogenlängenberechnung per Integration. Rein formell, ohne Aufgaben, Lösungen oder ausführliche Erklärschritte – die Formeln selbst sind im Text teilweise nicht überliefert.
Anwendungsaufgaben mit gebrochen rationalen Funktionen
Ein Aufgabenblatt mit sechs Anwendungsaufgaben zu gebrochen-rationalen Funktionen (Hyperbeln, Asymptoten, Definitionslücken, Steigungsprofile, Rendite). Die Aufgaben sind realitätsnah (Autobahn, Skischanze, Aktien) und verlangen Kurvendiskussion-Elemente wie Ableitung und Asymptotenverhalten. Formeln und Zahlenwerte sind teilweise unvollständig bzw. ohne Lösungen oder Erklärtext dargestellt.
Maturitätsprüfung 2006 Schwerpunktfach Physik und Anwendungen der Mathematik (Kantonsschule Reussbühl)
Vollständige Maturitätsprüfung des Schwerpunktfachs Physik und Anwendungen der Mathematik mit acht Aufgaben zu Vektorgeometrie, komplexen Zahlen, Differentialgleichungen sowie physikalischen Anwendungen (Gravitation, Strömung, Wechselstromkreis, Kernphysik). Ein anspruchsvoller, sauber formulierter Prüfungssatz ohne Lösungen oder Erklärungen.
Logistisches Wachstum — Infektion und Insektenpopulation
Ausführlich aufbereitete Unterrichtsdarstellung des logistischen Wachstums mit anschaulichen Beispielen (Infektionskrankheit, Insektenpopulation), einer vollständig durchgerechneten Modellierungsaufgabe mit Schritt-für-Schritt-Lösungen sowie der Untersuchung von Schnittpunkt, asymptotischem Verhalten, Wendepunkt und maximaler Wachstumsgeschwindigkeit. Übungsaufgaben sind nur als Link angedeutet, nicht im Material selbst enthalten.
Aufgaben zu Exponentialfunktionen
Aufgabensammlung zu Exponentialfunktionen mit Multiple-Choice, Graph-Zuordnung, graphischem Gleichungslösen. Ohne Lösungen, nur mit Lehrperson einsetzbar.
Übungsaufgaben mit Lösungen: Gleichungen, Prozentrechnung und linearer Zusammenhang
Eine Aufgabensammlung mit Musterlösungen für die Sekundarstufe I: Stühleaufgabe mit linearer Gleichung, Oberfläche eines Prisma, Prozentrechnung beim TV-Kauf, Wertetabelle und Graph eines linearen Abflussvorgangs. Die Lösungen sind Schritt für Schritt erklärt, teils ergänzt durch verlinkte Videolösungen. Didaktisch solide, aber reine Routineaufgaben ohne besonderen Reiz.
Aufgaben zu gebrochen-rationalen Funktionen
Dieses Material ist eine Aufgabensammlung zu gebrochen-rationalen Funktionen und deckt Definitionsbereiche, Nullstellen, Asymptoten, Graphen, Schnittpunkte und Symmetrieeigenschaften ab. Die Aufgaben reichen von schematischen Berechnungen bis zu anspruchsvollen Konstruktions- und Begründungsaufgaben. Das Material ist direkt im Unterricht einsetzbar, enthält aber keine Lösungen.
Aufgaben zum exponentiellen Wachstum
Ein reines Übungsaufgaben-Blatt mit acht abwechslungsreichen Kontexten zum exponentiellen Wachstum und Zerfall: Radioaktivität, Wirtschaftswachstum, Zinsen, Bakterien, Licht im See, Tschernobyl und Bierschaum. Die Aufgaben reichen von Routineberechnungen bis zum Aufstellen einer Formel und kritischer Beurteilung; Lösungen sind nicht enthalten.
Beschränktes Wachstum
Lehrseite zum beschränkten (exponentiellen) Wachstum mit Definition der Begriffe, Erläuterung der Sättigungsgrenze als Asymptote und einem ausführlichen Einführungsbeispiel (Gerücht in einer Schule), das die Wachstumsfunktion schrittweise herleitet. Übungsaufgaben sind nur als Platzhalter («Laden») bzw. Verweis auf einen Aufgabenordner vorhanden.
Lineare Abbildungen und Matrizen – Aufgabenserie (didaktisches Konzept)
Eine von H.R. Schneebeli über mehrere Jahre entwickelte Aufgabenserie zu linearen Abbildungen und Matrizen für das Schwerpunkt- und Ergänzungsfach Mathematik. Der Text ist primär ein ausführliches didaktisches Konzept (CAS-Einsatz, explorative Lernaufgaben, Unterrichtsaufbau von der Vektorrechnung bis zu Eigenwerten und Markowketten), enthält aber selbst keine konkreten Aufgaben.
Wachstums- und Zerfallsprozesse
Eine Aufgabensammlung zu Wachstums- und Zerfallsprozessen, die exponentielle Modelle aus Natur und Wirtschaft (z.B. Zinsen) behandelt.
Exponentialfunktionen: Definition und Eigenschaften
Ein Kurzlehrbuch-Text zur Definition von Exponentialfunktionen mit Basis, Faktor, Beispielen und Gegenbeispielen sowie Eigenschaften wie Definitionsbereich, Asymptote und y-Achsenschnitt. Es folgen kurze Hinweise zu Umkehrfunktion (Logarithmus), natürlicher Exponentialfunktion, Ableitung und Stammfunktion. Ein GeoGebra-Applet zum Experimentieren mit Schiebereglern wird eingebunden, Übungs- oder Lösungsteile fehlen jedoch.
Exponentielles Wachstum und Zerfall
Lernseite zum exponentiellen Wachstum und Zerfall mit einer eingängigen Zombie-Einstiegsfrage, Erklärungen zu Wachstumsfaktor, Halbwertszeit, Ableitung und Beispielen (Bakterien, Zinseszins). Die eigentlichen Formeln sind im Text nicht ausgefüllt (Platzhalter), und die Übungsaufgaben liegen nur als Verweis außerhalb des Materials vor.
Extremalaufgaben – Kommentartext zu Optimierung, Modellbildung und Technologieeinsatz
Ein ausführlicher didaktischer Kommentartext (für Lehrpersonen) zur Behandlung von Extremalaufgaben im Analysisunterricht: historische und kulturelle Hintergründe des Extremalprinzips, kritische Reflexion von Modellbildung und 'angewandten' Schulaufgaben sowie Überlegungen zum sinnvollen Einsatz von CAS/GTR. Die eigentlichen Aufgaben selbst sind im Text nicht enthalten.
Aufgabenblatt Differentialgleichungen 1
Ein nacktes Aufgabenblatt mit sechs linearen Differentialgleichungen erster Ordnung sowie drei Anwendungsproblemen (Raketengleichung, freier Fall mit Luftwiderstand, Barometerformel). Es gibt keinerlei Erklärungen, Beispiele oder Lösungen — es ist reines Rohmaterial für den Unterricht mit Lehrperson. Die Anwendungsaufgaben sind inhaltlich reizvoll ausgewählt.
Anwendungsaufgaben der Differential- und Integralrechnung
Eine Sammlung anspruchsvoller Anwendungsaufgaben zur Differential- und Integralrechnung aus realen Kontexten wie Achterbahn, Autobahnbau, Skisprungschanze, Gleistrassierung und Regression. Die Aufgaben behandeln Steigungen, mittlere Steigung, Krümmungsruckfreiheit (Polynomverbindungen bis Grad 4), Flächenberechnung und Regressionsgeraden. Die Formeln sind im Text teilweise nicht übernommen, und Lösungen sind nicht enthalten.
Populationsmodelle, Graphen und Matrizen
Eine Unterrichtseinheit von H.R. Schneebeli zur linearen Algebra mit Praxisbezug: strukturierte Populationen werden mit gerichteten Graphen, linearen Abbildungen und Potenzen nichtnegativer Matrizen modelliert; asymptotisches Verhalten führt auf ein Eigenwertproblem (Perron-Frobenius). Vorausgesetzt werden Grundbegriffe zu Vektoren, Matrizen und linearen Abbildungen sowie der Einsatz von CAS oder Numeriksoftware.
Verschiedene Extremalaufgaben
Eine Aufgabensammlung mit über 20 sehr vielseitigen Extremwertaufgaben zur Differentialrechnung, von Yoghurtbechern und Konservendosen über Benzinverbrauch, Schwerpunkte und Lichtbrechung bis zu Ausgleichsgeraden nach der Methode der kleinsten Quadrate. Viele Aufgaben haben echten Lebensweltbezug, verlangen Modellieren und teilweise experimentelles Ausmessen; Lösungen sind nicht enthalten.
Das Käfer-Verfolgungsproblem (Vier-Käfer-Problem)
Kurze Aufgabenstellung zum berühmten Verfolgungsproblem: Vier Käfer in den Ecken eines Quadrats laufen einander auf dem kürzesten Weg nach. Gefragt sind die Bahnen (logarithmische Spiralen), der Treffpunkt und die Weglänge. Es steht weder eine Erklärung noch eine Lösung oder ein Lösungshinweis im Material selbst.
Leslie-Matrizen und Populationsmodelle (Übungsserie)
Eine anspruchsvolle Übungsserie zu Leslie-Matrizen mit drei Anwendungskontexten (Taubenpopulation, Hudson-River-Forellen, Steinadler in der Schweiz). Die Aufgaben verlangen Modellinterpretation, Eigenwertbestimmung, Untersuchung des charakteristischen Polynoms und Modellerweiterungen. Es sind keine Lösungen oder erklärenden Texte enthalten.
Wachstumsarten im Überblick: linear, exponentiell, beschränkt, logistisch
Ein Übersichtsartikel, der vier Wachstumsarten anhand von Steckbriefen (Gleichung, Erkennungsmerkmal, Graph) vergleicht. Zuerst wird der Wachstumsbegriff anschaulich mit Beispielen (Pflanzenwachstum, radioaktiver Zerfall) eingeführt. Die eigentlichen Formeln sind im Text nicht ausgefüllt (Platzhalter), und Aufgaben sind nur als Verlinkung angekündigt.
Sachaufgaben mit quadratischen Funktionen
Aufgabenblatt mit fünf Sachkontexten (Brückenbogen, Apfelwurf, Zellkultur, Kraftstoffverbrauch), in denen quadratische Funktionen aufgestellt, interpretiert und zur Berechnung bzw. Optimierung genutzt werden. Die Aufgaben sind teilweise alltagsnah formuliert, enthalten aber technische Mängel: Wichtige Zahlenwerte und Funktionsgleichungen fehlen im Text, und Lösungen sind nicht vorhanden.
Aufgabenblatt 2 Differentialgleichungen
Ein Aufgabenblatt mit Übungen zu linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, einem gekoppelten DGL-System und einer angewandten Aufgabe zum Entleeren eines Stausees. Lösungsentwicklung, Ansätze, Anfangsbedingungen und numerische Lösung mit dem TI Voyage 200. Keine Erklärungen und keine Lösungen im Material selbst.
Optimierungsaufgabe: Querung eines Flusses (Rudern und Laufen)
Klassische Extremwertaufgabe: Mathias muss einen Fluss mit Ruderboot und zu Fuss überqueren und sucht die schnellste Route, indem er den Zielpunkt X am gegenüberliegenden Ufer optimiert. Es handelt sich um eine einzelne, klar formulierte Aufgabe mit vollständigen Zahlenangaben. Eine Musterlösung oder Hinweise fehlen.
Halbwertszeit und Verdopplungszeit bei exponentiellem Wachstum
Kurzer Erklärtext zur Definition und Berechnung von Halbwerts- und Verdopplungszeit bei exponentiellem Wachstum und Zerfall, inklusive der Spezialformeln für die e-Funktion. Die Herleitung wird nur skizziert («analog zu ...»), eigentliche Formeln fehlen im Text, und es gibt weder Beispiele noch Aufgaben. Als knappes Nachschlagematerial mit Lehrperson einsetzbar, allein aber zu dünn.
Exponentielles Wachstum mit der e-Funktion
Ein knapper Nachschlage-Text zur Modellierung exponentiellen Wachstums mit der e-Funktion, inklusive Konvention zur positiven Wachstums- bzw. Zerfallskonstante. Die eigentlichen Formeln sind im Text nicht lesbar (Platzhalter), und es fehlen Beispiele, Herleitungen und Aufgaben. Als Fragment nur eingeschränkt brauchbar.