2.2.3 Charakteristische Eigenschaften von Funktionen und ihren Graphen mit den Instrumenten der Differenzialrechnung analysieren
Unterrichtsmaterial zum Lernziel: Die Maturandinnen und Maturanden können charakteristische Eigenschaften von Funktionen und ihren Graphen mit den Instrumenten der Differenzialrechnung analysieren.
Aufgaben zum Monotonieverhalten und zu Extremwerten
Eine Sammlung von ausführlichen Übungsaufgaben und Musterlösungen zur Bestimmung des Monotonieverhaltens und von lokalen beziehungsweise globalen Extrema mithilfe der Differenzialrechnung.
Aufgaben zur Diskussion von ln-Funktionen
Eine umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion von Funktionen mit natürlichen Logarithmen. Es werden Schritt für Schritt Definitionsbereiche, Nullstellen, Ableitungen, Extrema, Wendepunkte und Grenzwerte behandelt.
Aufgaben zur Quotientenregel
Umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben zur Quotientenregel in der Differenzialrechnung, inklusive Fehlerfindungsaufgaben und alternativen Lösungswegen mit Potenzgesetzen und Kettenregel.
Gemischte Aufgaben zur Ableitung
Eine umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben zum Thema Ableitungen, bei der Funktionen vor dem Differenzieren oft durch geschicktes Umformen, Kürzen oder Anwenden von Potenz- und Wurzelgesetzen vereinfacht werden. Zudem werden verschiedene Ableitungsregeln wie die Ketten-, Quotienten-, Produkt- und Summenregel anhand konkreter Beispiele angewendet.
Analysis Aufgaben: Staulänge und Kurvenschar
Eine ausführliche Aufgabensammlung zur Analysis für das Gymnasium. Im ersten Teil wird die Staulänge auf einer Autobahn über die Änderungsrate modelliert und mit Ableitungen und Integralen analysiert. Der zweite Teil befasst sich mit der Untersuchung einer Kurvenschar.
Logistisches Wachstum: Theorie und Anwendungsbeispiele
Das Material erklärt das Konzept des logistischen Wachstums anhand von Beispielen aus der Natur und Infektionskrankheiten. Es behandelt detailliert die Wachstumsfunktion, Grenzwertbetrachtungen, die Ableitung inklusive Wendepunkt sowie konkrete Übungsaufgaben.
Der Betrag einer Zahl und seine Eigenschaften in Termen und Funktionen
Dieses Unterrichtsmaterial erklärt den Begriff des Betrags einer Zahl, zeigt Beispiele für Beträge in Termen sowie Funktionstermen und behandelt wichtige Rechenregeln wie die Dreiecksungleichung. Zudem wird auf die Auswirkungen von Beträgen auf die Kurvendiskussion, insbesondere auf Stetigkeit und die Ableitung, eingegangen.
Monotonie von reellen Funktionen
Dieses Unterrichtsmaterial erklärt den Begriff der Monotonie (steigend, fallend, streng monoton) bei reellen Funktionen sowie die Bestimmung von Monotonieintervallen mithilfe der Ableitung. Es enthält Definitionen, anschauliche Erklärungen und Verweise auf Übungsaufgaben.
Ableitung einer Umkehrfunktion
Dieses Unterrichtsmaterial erklärt anhand von Beispielen, grafischen Veranschaulichungen und einer algebraischen Herleitung mithilfe der Kettenregel, wie die Ableitung einer Umkehrfunktion bestimmt wird.
Ortskurven von Funktionenscharen und Geradengleichungen
Dieses Unterrichtsmaterial erklärt Schritt für Schritt, wie man Ortskurven von Minima bei Funktionenscharen berechnet und Geradengleichungen aus gegebenen Punktmengen bestimmt. Es enthält konkrete Rechenbeispiele mit Ableitungen und Äquivalenzumformungen.
Anwendungsaufgaben zur Analysis und Kurvendiskussion
Eine umfangreiche Sammlung von Anwendungsaufgaben zur Differential- und Integralrechnung, bei denen reale Szenarien wie Achterbahnen, Strassenbau und Trassierungen modelliert werden. Die Aufgaben beinhalten Berechnungen zu Steigungen, Extremwerten, Tangenten und Funktionsanpassungen.
Wendepunkte und Sattelpunkte
Der Artikel erklärt die mathematischen Definitionen, notwendigen Kriterien und das Vorgehen zur Berechnung von Wendepunkten und Sattelpunkten mithilfe der Differenzialrechnung. Zusätzlich werden Übungsaufgaben angeboten, um das Krümmungsverhalten von Funktionen zu analysieren.
Bestimmung von Extremwerten und Monotonieverhalten
Dieses Material erklärt anschaulich die Begriffe des lokalen und globalen Extremums sowie die methodische Bestimmung von Extremstellen mithilfe der ersten und zweiten Ableitung. Zudem wird das Vorzeichenwechselkriterium als alternative Methode zur Klassifikation von Extrempunkten erläutert.
Das Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen und Wendepunkte
Dieses Unterrichtsmaterial erklärt anschaulich das Krümmungsverhalten von Funktionsgraphen mithilfe der zweiten Ableitung. Anhand von Beispielen wie der Sinus- und quadratischen Funktionen werden links- und rechtsgekrümmte Abschnitte sowie Wendepunkte untersucht.
Berechnung von Steigung und Tangentengleichung mit der h-Methode
Dieses Material erklärt Schritt für Schritt, wie man die h-Methode zur Bestimmung der Ableitung beziehungsweise Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle verwendet. Anschliessend wird gezeigt, wie sich mit diesem Wert und dem Berührpunkt die Tangentengleichung aufstellen lässt.
Aufgaben zur Polynomfunktion
Eine umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben und ausführlichen Lösungsbeispielen zu Polynomfunktionen, einschliesslich Kurvendiskussionen, Nullstellenbestimmung und Symmetrieverhalten.
Analysis Übungsaufgaben zu Ableitungen, Funktionsverschiebungen und Stammfunktionen
Dieses Unterrichtsmaterial enthält konkrete Abitur- bzw. Gymnasialaufgaben aus der Analysis mit ausführlichen Lösungsvorschlägen. Thematisiert werden die Bestimmung des Funktionsgrades über Ableitungen, die grafische und rechnerische Verschiebung von Funktionen sowie die Rekonstruktion und Skizzierung von Stammfunktionen anhand von Steigungen und Flächeninhalten.
Kurvendiskussion in der Biopharmazie (Lernaufgabe)
Diese Lernaufgabe verknüpft die mathematische Kurvendiskussion mit einer realen Anwendung in der Biopharmazie am Beispiel des Medikaments Propranolol. Die Schülerinnen und Schüler lernen, Wirkstoffkonzentrationen im Blut zu modellieren, Ausgleichsrechnungen durchzuführen und Prognosen zu erstellen.
Bestimmung von Tangenten und Wendetangenten
Dieses Unterrichtsmaterial erklärt anschaulich anhand von Rezepten und konkreten Beispielen, wie Tangenten an Funktionsgraphen mithilfe der Tangentenformel oder durch das Konstruieren einer Geraden bestimmt werden. Zudem wird auf die Berechnung von Tangenten bei gegebener Steigung sowie auf Wendetangenten eingegangen.
Aufgaben zur Berechnung von Wendepunkten und Krümmungsverhalten
Eine detaillierte Sammlung von Übungsaufgaben zur Analysis, bei der Funktionen auf Wendepunkte, das Krümmungsverhalten sowie Tangenten und Normalen untersucht werden. Zu den Aufgaben werden jeweils die notwendigen Ableitungen und Lösungsschritte ausführlich erklärt.
Aufgaben zur Kurvendiskussion von e-Funktionen
Eine umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben zur vollständigen Kurvendiskussion von e-Funktionen inklusive Ableitungsregeln, Extrem- und Wendepunkten sowie Schnittwinkeln. Detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösungen unterstützen beim Verstehen der Analysis.
Kurvendiskussion und Analysis von Funktionenscharen
Umfangreiche Sammlung von Aufgaben zur Analysis, insbesondere zur Kurvendiskussion von Funktionenscharen, Extremwertproblemen, Wendepunkten und Integralrechnung. Das Material enthält detaillierte Lösungsschritte, Fallunterscheidungen und Erklärungen zu Grenzwerten und Ortskurven.
Ortskurven von Funktionenscharen
Dieses Unterrichtsmaterial erklärt den Begriff der Ortskurve anhand von Funktionenscharen, Extrema und Wendepunkten. Es zeigt anhand einer Schritt-für-Schritt-Anleitung und konkreten Beispielen das Vorgehen zur Bestimmung von Ortskurven von Scheitelpunkten und bietet Übungsaufgaben zur Vertiefung.
Aufgaben zu der Tangente
Eine Sammlung von Übungsaufgaben zur Bestimmung von Tangenten an Funktionsgraphen, inklusive Aufgaben zu vorgegebenen Punkten, Steigungen und Parallelität. Das Material dient dem praktischen Anwenden der Differenzialrechnung in der Analysis.
Aufgaben zum graphischen Differenzieren
Dieses Unterrichtsmaterial bietet Übungsaufgaben und Skizzen zum graphischen Differenzieren. Lernende üben dabei, die Ableitungsfunktion anhand gegebener Funktionsgraphen zu zeichnen und zu analysieren.
Das Monotonieverhalten von Funktionen
Dieses Material erklärt die Bestimmung des Monotonieverhaltens von differenzierbaren Funktionen mithilfe der ersten und zweiten Ableitung. Es zeigt detailliert die Vorgehensweise mit Monotonietabellen sowie über Extrempunkte und enthält praxisnahe Beispiele sowie Übungsaufgaben.
Gemischte Aufgaben zum Ableiten von Funktionen
Eine umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben zur Differenzialrechnung, die das Ableiten verschiedener Funktionstypen wie Polynome, e-Funktionen und Logarithmen abdeckt. Zudem werden Tangentenprobleme und Anwendungsaufgaben behandelt.
Kurven und Flächen im Raum
Dieses Material behandelt fortgeschrittene mathematische Konzepte wie die Parameterdarstellung von Kurven und Flächen, partielle Ableitungen, Vektoroperationen sowie Vektorfelder inklusive Gradient, Divergenz und Rotation. Es verbindet den Funktionsbegriff mit vektorgeometrischen Überlegungen und geometrischer Untersuchung.
Einführung in die Differentialrechnung
Dieses Unterrichtsmaterial führt in die Differentialrechnung ein, wobei der Differenzen- und Differentialquotient über Tangentensteigungen erarbeitet werden. Es behandelt ausserdem Ableitungsregeln, Kurvendiskussionen und Extremalwertaufgaben.
Numerische Berechnung von Cosinus und Sinus
Das Material behandelt die numerische Approximation von Sinus und Cosinus über Differentialgleichungen und das Eulerverfahren. Es richtet sich an den Mathematikunterricht der Sekundarstufe II.
Kurvendiskussion mit Parametern
Dieses Unterrichtsmaterial erklärt Schritt für Schritt, wie eine Kurvendiskussion für Funktionenscharen mit Parametern durchgeführt wird. Anhand eines Beispiels werden Themen wie Definitionsbereich, Nullstellen, Grenzwerte und Extrema inklusive notwendiger Fallunterscheidungen behandelt.
Einführung in die Kurvendiskussion
Dieses Unterrichtsmaterial bietet eine systematische Übersicht über die einzelnen Schritte und Eigenschaften einer Kurvendiskussion, von den Ableitungen über charakteristische Punkte bis hin zur Skizzierung des Graphen. Es deckt sowohl die Differenzialrechnung als auch grundlegende Funktionsanalysen ab.
Einführung in ganzrationale Funktionen und Polynomfunktionen
Das Unterrichtsmaterial erklärt den Begriff, den Grad und die Koeffizienten von ganzrationalen Funktionen (Polynomfunktionen). Zudem werden Themen wie Nullstellen, Grenzwerte im Unendlichen, spezielle Funktionstypen sowie die Bestimmung von Extrema behandelt.
Kurvendiskussion gebrochenrationaler Funktionen
Das Material beschreibt Schritt für Schritt die Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion. Es werden dabei Definitionslücken, Asymptoten, Extremwerte und Nullstellen behandelt.
Bestimmung des Scheitelpunkts von Parabeln
Das Material erklärt anschaulich die Eigenschaften von Parabeln sowie vier verschiedene Methoden zur Bestimmung des Scheitelpunkts (Scheitelform, allgemeine Form, Ableitung und Nullstellen). Zudem enthält es Übungsaufgaben und veranschaulichende Beispiele.
Berechnung von Schnittpunkten von Funktionen
Dieser Artikel erklärt Schritt für Schritt, wie man die Schnittpunkte verschiedener Funktionstypen wie Geraden, Polynomen und allgemeinen Funktionen bestimmt. Dabei werden sowohl algebraische Lösungswege als auch numerische Verfahren wie das Newton-Verfahren und die Untersuchung von Funktionenscharen behandelt.
Das Newton-Verfahren zur Nullstellenbestimmung
Dieses Unterrichtsmaterial erklärt das Newton-Verfahren als iteratives Verfahren zur Annäherung von Nullstellen mithilfe von Ableitungen. Es beinhaltet theoretische Erklärungen, Beispiele, Taschenrechner-Hinweise sowie Übungsaufgaben.
Quadratische Funktionen: Nullstellen, Scheitel und Darstellungsformen
Dieses Unterrichtsmaterial bietet eine kurze Übersicht über quadratische Funktionen, einschliesslich ihrer Nullstellen, des Scheitels und verschiedener Darstellungsformen. Es werden Methoden wie die Mitternachtsformel und die quadratische Ergänzung erwähnt, gefolgt von Übungsaufgaben.