2.1.5 Das asymptotische Verhalten von Funktionen untersuchen
Unterrichtsmaterial zum Lernziel: Die Maturandinnen und Maturanden können das asymptotische Verhalten von Funktionen untersuchen.
Übersicht zu Wachstumsarten
Der Artikel gibt eine strukturierte Übersicht über verschiedene Wachstumsarten wie lineares, exponentielles, beschränktes und logistisches Wachstum. Dabei werden mathematische Gleichungen, Erkennungsmerkmale und Graphen gegenübergestellt und verglichen.
Analysis Aufgaben: Staulänge und Kurvenschar
Eine ausführliche Aufgabensammlung zur Analysis für das Gymnasium. Im ersten Teil wird die Staulänge auf einer Autobahn über die Änderungsrate modelliert und mit Ableitungen und Integralen analysiert. Der zweite Teil befasst sich mit der Untersuchung einer Kurvenschar.
Logistisches Wachstum: Theorie und Anwendungsbeispiele
Das Material erklärt das Konzept des logistischen Wachstums anhand von Beispielen aus der Natur und Infektionskrankheiten. Es behandelt detailliert die Wachstumsfunktion, Grenzwertbetrachtungen, die Ableitung inklusive Wendepunkt sowie konkrete Übungsaufgaben.
Grenzwertbetrachtung von Funktionen
Dieses Unterrichtsmaterial erklärt anschaulich die Bestimmung von Grenzwerten von Funktionen im Unendlichen sowie an Definitionslücken. Es behandelt sowohl die grafische und numerische Annäherung als auch die formale Berechnung von einseitigen Grenzwerten, Asymptoten und Polstellen.
Aufgaben zum Berechnen von Asymptoten
Eine umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben zur Bestimmung von senkrechten, waagrechten und schiefen Asymptoten rationaler Funktionen. Schritt-für-Schritt-Lösungen erklären die Untersuchung von Definitionslücken und Grenzverhalten.
Asymptoten von Funktionen
Dieses Unterrichtsmaterial erklärt den Begriff der Asymptote sowie die verschiedenen Arten (waagerecht, senkrecht, schief und kurvenförmig) anhand von Beispielen. Es beschreibt das Verhalten von Funktionen im Unendlichen und bietet abschliessend Übungsaufgaben an.
Aufgaben zu gebrochen-rationalen Funktionen
Eine umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben zu gebrochen-rationalen Funktionen, einschliesslich Definitionsmengen, Wertetabellen, Nullstellen, Asymptoten, Symmetrie und asymptotischem Verhalten. Die Aufgaben bieten konkrete Übungsmöglichkeiten für den Analysis-Unterricht am Gymnasium.
Die Regel von de L'Hospital
Dieses Unterrichtsmaterial erklärt die Regel von de L'Hospital zur Berechnung von Grenzwerten unbestimmter Ausdrücke. Anhand mehrerer Beispiele wird die Anwendung sowie die mehrfache Differentiation und die Prüfung der Voraussetzungen erläutert.
Gebrochen-rationale Funktionen: Eigenschaften und Beispiele
Dieses Unterrichtsmaterial erklärt den Begriff der gebrochen-rationalen Funktionen und unterscheidet zwischen echt und unecht gebrochen-rationalen Funktionen. Anhand von Beispielen werden wichtige Eigenschaften wie Polstellen, hebbare Definitionslücken, Nullstellen und Asymptoten hergeleitet und analysiert.
Populationsmodelle, Graphen und Matrizen
Dieses Unterrichtsmaterial behandelt strukturierte Bevölkerungen und deren mathematische Modellierung mittels Graphen und Matrizen. Es führt in die Untersuchung asymptotischer Entwicklungen und Eigenwertprobleme ein und zeigt typische Anwendungen der linearen Algebra.
Aufgaben zur Polynomdivision
Eine umfangreiche Sammlung von Aufgaben und Erklärungen zur Durchführung von Polynomdivisionen, zur Faktorisierung von Polynomen sowie zur Bestimmung von Nullstellen und Asymptoten.
Aufgaben zum Berechnen von Grenzwerten
Eine Sammlung von Übungsaufgaben zur Bestimmung von Grenzwerten von Funktionen im Unendlichen sowie mithilfe der Regel von de l'Hospital. Das Material bietet praxisnahe Aufgaben zur Analysis.
Transformation von Hyperbeln und gebrochen-rationalen Funktionen
Dieses Unterrichtsmaterial erklärt anschaulich anhand von Tabellen und Beispielen, wie sich die Parameter auf den Graphen von Hyperbeln (gebrochen-rationale Funktionen) auswirken. Dabei werden Verschiebungen in x- und y-Richtung, Streckungen, Stauchungen sowie Spiegelungen und deren Einfluss auf die Asymptoten besprochen.
Asymptoten gebrochen-rationaler Funktionen
Dieses Unterrichtsmaterial erklärt anschaulich, wie man waagrechte, senkrechte und schiefe Asymptoten bei gebrochen-rationalen Funktionen durch den Vergleich von Zähler- und Nennergrad sowie mithilfe von Polynomdivision und Grenzwerten bestimmt. Anhand eines konkreten Beispiels wird die Skizzierung des Funktionsgraphen demonstriert, ergänzt durch passende Übungsaufgaben.
Rationale Funktionen
Dieses Unterrichtsmaterial behandelt rationale Funktionen im Rahmen der Analysis. Es enthält eine Repetition von Grundbegriffen, den Fundamentalsatz der Algebra, die Untersuchung des Randverhaltens von Definitionsbereichen sowie grafische Darstellungen, ergänzt durch Theorie, Aufgaben mit Lösungen und ein Unterrichtspuzzle.
Leitprogramm Grenzwerte von Folgen und Funktionen
Dieses Leitprogramm für das Gymnasium führt die Schülerinnen und Schüler im Selbststudium in das Thema Grenzwerte von Folgen und reellen Funktionen ein. Es beinhaltet neben theoretischen Grundlagen und Aufgaben auch rekursiv definierte Folgen sowie ein Zusatzkapitel über Reihen.
Definitionsbereich und Definitionslücken von Funktionen
Dieses Unterrichtsmaterial erklärt den Begriff des Definitionsbereichs von Funktionen, zeigt Möglichkeiten zur Darstellung und behandelt das Auffinden von Definitionslücken durch Nennernullstellen, Wurzeln und Logarithmen. Zudem werden Definitionsränder, Grenzwerte und Übungsaufgaben thematisiert.
Eigenschaften der elementaren gebrochen-rationalen Funktion f(x) = 1/x
Der Artikel behandelt die elementare gebrochen-rationalen Funktion f(x) = 1/x, ihren Graphen (Hyperbel), den Definitionsbereich, Polstellen, Asymptoten sowie Transformationen wie Verschiebung und Streckung. Er eignet sich gut als theoretische Einführung oder Nachschlagewerk für den Mathematikunterricht am Gymnasium.
Einführung in ganzrationale Funktionen und Polynomfunktionen
Das Unterrichtsmaterial erklärt den Begriff, den Grad und die Koeffizienten von ganzrationalen Funktionen (Polynomfunktionen). Zudem werden Themen wie Nullstellen, Grenzwerte im Unendlichen, spezielle Funktionstypen sowie die Bestimmung von Extrema behandelt.
Kurvendiskussion gebrochenrationaler Funktionen
Das Material beschreibt Schritt für Schritt die Kurvendiskussion einer gebrochenrationalen Funktion. Es werden dabei Definitionslücken, Asymptoten, Extremwerte und Nullstellen behandelt.
Wichtige Grenzwerte und Rechenregeln
Dieses Unterrichtsmaterial bietet eine Übersicht über die Grenzwerte wichtiger elementarer Funktionen sowie grundlegende Rechenregeln für Limiten. Es enthält zudem Hinweise zur Regel von de L'Hospital und verweist auf weiterführende Übungsaufgaben.
Fibonacci- und Lucas-Zahlen sowie deren Grenzwert
Das Material zeigt die Herleitung der expliziten Darstellung einer allgemeinen Lucas-Folge über die Fibonacci-Zahlen sowie die Bestimmung des Grenzwerts des Quotienten benachbarter Glieder. Es enthält mathematisch-formale Herleitungen, jedoch keine Übungsaufgaben.
Untersuchung einer rekursiven Zahlenfolge
Das Material präsentiert eine Aufgabe zur Untersuchung einer speziellen Zahlenfolge, bei der Lernende eine rekursive Vorschrift finden, eine explizite Darstellung herleiten und das Grenzwertverhalten von Quotienten aufeinanderfolgender Glieder analysieren sollen.