2.2.2 Funktionen ableiten
Unterrichtsmaterial zum Lernziel: Die Maturandinnen und Maturanden können Funktionen ableiten.
Die Quotientenregel in der Differenzialrechnung
Dieses Unterrichtsmaterial erklärt die Quotientenregel zur Ableitung von Quotienten differenzierbarer Funktionen. Es enthält anschauliche Merkregeln, konkrete Beispiele wie die Ableitung des Tangens sowie zugehörige Übungsaufgaben.
Aufgaben zur Diskussion von ln-Funktionen
Eine umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben zur Kurvendiskussion von Funktionen mit natürlichen Logarithmen. Es werden Schritt für Schritt Definitionsbereiche, Nullstellen, Ableitungen, Extrema, Wendepunkte und Grenzwerte behandelt.
Aufgaben zur Quotientenregel
Umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben zur Quotientenregel in der Differenzialrechnung, inklusive Fehlerfindungsaufgaben und alternativen Lösungswegen mit Potenzgesetzen und Kettenregel.
Gemischte Aufgaben zur Ableitung
Eine umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben zum Thema Ableitungen, bei der Funktionen vor dem Differenzieren oft durch geschicktes Umformen, Kürzen oder Anwenden von Potenz- und Wurzelgesetzen vereinfacht werden. Zudem werden verschiedene Ableitungsregeln wie die Ketten-, Quotienten-, Produkt- und Summenregel anhand konkreter Beispiele angewendet.
Ableitung einer Umkehrfunktion
Dieses Unterrichtsmaterial erklärt anhand von Beispielen, grafischen Veranschaulichungen und einer algebraischen Herleitung mithilfe der Kettenregel, wie die Ableitung einer Umkehrfunktion bestimmt wird.
Die Produktregel der Ableitung
Das Unterrichtsmaterial erklärt die Produktregel für die Ableitung von Funktionen anhand einer Formel, einer Herleitung und anschaulichen Beispielen wie Polynomen und trigonometrischen Funktionen. Es enthält zudem Übungsaufgaben und Verweise auf verwandte Ableitungsregeln wie die Quotienten- und Kettenregel.
Die natürliche Logarithmusfunktion (ln-Funktion)
Dieses Unterrichtsmaterial behandelt die Definition, Eigenschaften, Umkehrfunktion, Ableitung und Stammfunktion der natürlichen Logarithmusfunktion. Zudem wird gezeigt, wie Logarithmen zu beliebigen Basen in die ln-Funktion umgerechnet werden können.
Ableitung von Funktionen: Regeln und Aufgaben
Das Unterrichtsmaterial bietet eine Übersicht und Aufgaben zur Differenzialrechnung, insbesondere zu elementaren Ableitungsregeln wie Produkt-, Quotienten- und Kettenregel. Es enthält Erklärungen sowie gemischte Übungsaufgaben zum Ableiten verschiedener Funktionstypen.
Aufgaben zur Kettenregel
Dieses Material bietet eine Sammlung von Übungsaufgaben und Musterlösungen zur Anwendung der Kettenregel in der Differenzialrechnung. Lernende können das Ableiten von verketteten Funktionen Schritt für Schritt üben und vertiefen.
Aufgaben zur Kurvendiskussion von e-Funktionen
Eine umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben zur vollständigen Kurvendiskussion von e-Funktionen inklusive Ableitungsregeln, Extrem- und Wendepunkten sowie Schnittwinkeln. Detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösungen unterstützen beim Verstehen der Analysis.
Exponentielles Wachstum und Zerfall
Dieses Unterrichtsmaterial erklärt die Grundlagen des exponentiellen Wachstums und des exponentiellen Zerfalls anhand von anschaulichen Beispielen wie einer Zombieapokalypse, Bakterienwachstum und Zinseszinsrechnung. Zudem werden Funktionsgleichungen, Halbwerts- und Verdopplungszeiten sowie die Wachstumsgeschwindigkeit mithilfe der Ableitung behandelt.
Die h-Methode zur Bestimmung der Ableitung
Das Unterrichtsmaterial erklärt die h-Methode als alternative Interpretation des Differentialquotienten anhand einer Veranschaulichung, einem konkreten Beispiel sowie integrierten Übungsaufgaben und einem Video.
Gemischte Aufgaben zum Ableiten von Funktionen
Eine umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben zur Differenzialrechnung, die das Ableiten verschiedener Funktionstypen wie Polynome, e-Funktionen und Logarithmen abdeckt. Zudem werden Tangentenprobleme und Anwendungsaufgaben behandelt.
Kurven und Flächen im Raum
Dieses Material behandelt fortgeschrittene mathematische Konzepte wie die Parameterdarstellung von Kurven und Flächen, partielle Ableitungen, Vektoroperationen sowie Vektorfelder inklusive Gradient, Divergenz und Rotation. Es verbindet den Funktionsbegriff mit vektorgeometrischen Überlegungen und geometrischer Untersuchung.
Einführung in die Differentialrechnung
Dieses Unterrichtsmaterial führt in die Differentialrechnung ein, wobei der Differenzen- und Differentialquotient über Tangentensteigungen erarbeitet werden. Es behandelt ausserdem Ableitungsregeln, Kurvendiskussionen und Extremalwertaufgaben.
Analytische und numerische Verfahren für Ableitungen
Das Unterrichtsmaterial vergleicht analytische Ableitungsverfahren mittels Differentialkalkül mit numerischen Verfahren auf diskreten Daten. Es werden Differenzenquotienten, Näherungswerte sowie auftretende Rundungs- und Diskretisierungsfehler behandelt.
Logarithmen berechnen - beinahe exakt
Das Unterrichtsmaterial stellt fünf verschiedene numerische Verfahren zur Approximation von Logarithmen vor. Dabei werden Konzepte wie Bisektion, numerische Integration und Ableitung, Tabelleninterpolation sowie Taylorpolynome und die Newtoniteration angewendet.
Aufgaben zur Produktregel
Dieses Unterrichtsmaterial bietet eine Sammlung von Übungsaufgaben zur Anwendung der Produktregel in der Differenzialrechnung. Lernende können das Ableiten von Produkten zweier Funktionen trainieren und ihre Ergebnisse überprüfen.
Die natürliche Exponentialfunktion (e-Funktion)
Dieses Unterrichtsmaterial führt in die natürliche Exponentialfunktion und den natürlichen Logarithmus ein. Es behandelt wesentliche Eigenschaften, die Ableitung sowie Stammfunktionen und bietet abschliessend Übungsaufgaben.
Übersicht und Anwendung der Ableitungsregeln
Dieses Unterrichtsmaterial bietet eine strukturierte Übersicht über grundlegende Ableitungsregeln wie Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel. Anhand von Beispielen und Schritt-für-Schritt-Anleitungen wird gezeigt, wie verschiedene Funktionen abgeleitet werden.
Die Kettenregel in der Differenzialrechnung
Dieses Unterrichtsmaterial erklärt die Kettenregel zur Ableitung verketteter Funktionen anhand von Beispielen und Zerlegungen in innere und äußere Funktionen. Es enthält zudem Übungsaufgaben und Erklärungen zum Nachdifferenzieren.
Trigonometrische Umkehrfunktionen
Das Unterrichtsmaterial behandelt Arkussinus, Arkuskosinus und Arkustangens als Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen. Es werden Definitions- und Wertemengen, Graphen, Ableitungen sowie anschauliche Beispiele zur Berechnung vorgestellt.
Ableitungsregeln: Produkt-, Quotienten- und Kettenregel
Dieses Unterrichtsmaterial bietet Artikel und Aufgaben zur Anwendung der Produkt-, Quotienten- und Kettenregel beim Ableiten von Funktionen. Es deckt damit zentrale Techniken der Differenzialrechnung ab.
Funktionsplotter mit Ableitungsfunktionen
Dieses interaktive Online-Tool ermöglicht das Plotten von mathematischen Funktionen sowie deren erster und zweiter Ableitung. Benutzer können Funktionsgleichungen eingeben und den sichtbaren Graphbereich individuell anpassen.
Simulation des Doppelpendels mittels Runge-Kutta-Verfahren
Das Material beschreibt die mathematisch-physikalische Modellierung eines Doppelpendels über die Lagrange-Gleichung und dessen numerische Lösung mittels des Runge-Kutta-Verfahrens. Es veranschaulicht die Simulation von Differentialgleichungen zweiter Ordnung in einer interaktiven Anwendung.
Übersichtstabellen und Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen
Das Material bietet eine tabellarische Übersicht über trigonometrische Funktionen, deren Ableitungen, Symmetrieeigenschaften sowie Umkehrfunktionen. Ein kurzes Anwendungsbeispiel demonstriert die Ableitung einer trigonometrischen Funktion anhand der Tabelle.
Das Käferproblem: Kurven und Differentialgleichungen
Das Material behandelt das klassische Käferproblem, bei dem sich vier Käfer auf den Ecken eines Quadrats aufeinander zubewegen. Anhand dieses Beispiels wird die Herleitung und Lösung einer Differentialgleichung mittels Polarkoordinaten sowie die Berechnung der Bogenlänge durch Integration demonstriert.